Question

已知f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m，n∈N^*）的展开式中x的系数为19，求f（x）的展式式中x²的系数的最小值．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x²的系数，
将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值

解答：解：f（x）=1+C_m¹x+C_m²x²+…+C_m^mx^m+1+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ=2+（C_m¹+C_n¹）x+（C_m²+C_n²）x²+…（2分）
由题意m+n=19（m，n∈N^*）…（4分）
x²项的系数为

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=(m-

19

2

)2+

19×17

4

…（8分）
∵m，n∈N^*
∴当m=9或10时，即m=10，n=9或m=9，n=10时，x²项的系数取得最小值，最小值为81…（12分）

点评：本题考查二项式定理的应用，本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．解题时要认真审题，仔细解答．