Question

8．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a+b=$\sqrt{3}$asinc+ccosA．
（1）求角C；
（2）设D为BC的中点，且AD=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，又结合C∈（0，π），即可求得角C的值；
（2）由余弦定理结合已知可得$\frac{ab}{2}$≤4，又由三角形面积公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2$\sqrt{3}$．从而解得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理可得：sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinCsinA+sinCcosA，又A+B+C=π，
∴sinA+sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinCsinA+sinCcosA
整理可得：1+cosC=$\sqrt{3}$sinC，
即：$\sqrt{3}$sinC-cosC=1，
有：sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
∴C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）如图，由余弦定理可得：AD²=CA²+CD²-2CA•CD•cosC=CA²+CD²-CA•CD=b²+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{ab}{2}$≥ab$-\frac{ab}{2}$=$\frac{ab}{2}$，
∴$\frac{ab}{2}$≤4，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2$\sqrt{3}$．
∴△ABC面积的最大值是2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，利用基本不等式求面积的最大值．