Question

（2011•成都二模）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为

2

3

，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为

1

2

，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立．
（I）求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；
（Ⅱ）记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E，事件E发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确，根据相互独立事件的概率公式解之即可；
（II）随机变量ξ取值为0，900，1800，2700，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答：解：（I）记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E，事件E发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确．
P(E)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

6

．（6分）
（II）随机变量ξ取值为0，900，1800，2700．
P（ξ=0）=[1-（

2

3

）²][（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

5

18

；
P（ξ=900）=（

2

3

）²[（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

2

9

；
P（ξ=1800）=[（

1

3

）²+

C

1 2

×

1

3

×

2

3

][（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

5

18

；
P（ξ=2700）=（

2

3

）²[（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

2

9

；
∴ξ的分布列为

ξ	0	900	1800	2700
P	5 18	2 9	5 18	2 9

Eξ=0×

5

18

+900×

2

9

+1800×

5

18

+2700×

2

9

=1300

点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了计算能力，属于中档题．