Question

已知方程8x²+6kx+2k+1=0的两个实根是sinθ和cosθ．
（1）求k的值；
（2）求tanθ的值（其中sinθ＞cosθ）．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）由题意，利用韦达定理得到sinθ+cosθ=-

3k

4

，sinθcosθ=

2k+1

8

，根据sin²θ+cos²θ=1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）将k值代入可得sinθ+cosθ的值和sinθcosθ的值，由sinθ＞cosθ，可求sinθ-cosθ的值，从而可求tanθ的值．

解答： 解：（1）∵sinθ，cosθ是关于x的方程8x²+6kx+2k+1=0的两个实根，
∴sinθ+cosθ=-

3k

4

，sinθcosθ=

2k+1

8

，
∵sin²θ+cos²θ=1，
∴（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=1，即

9k2

16

-

2k+1

4

=1，
整理得：（k-2）（9k+10）=0，
解得：k=2或k=-

10

9

，
由于k=2时△＜0故舍去．故k=-

10

9

．
（2）由（1）知，把k=-

10

9

代入，得sinθ+cosθ=

5

6

，sinθcosθ=-

11

72

，
∵sinθ＞cosθ，
sinθ-cosθ=

1-2sinθcosθ

=

1+2× 11 72

=

47

6

，
∴sinθ=

47 +5

12

，cosθ=

5- 47

12

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

47 +5

5- 47

=-

72+10 47

22

=-

36+5 47

11

．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，考察了韦达定理的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．