Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB=2EF=2，AE=AD=1，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD
（Ⅰ）若G为DF的中点，求BG的长，
（Ⅱ）若H是DC的中点，求二面角A-HF-B的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知可求BF，ED，DF，DB，FG，DF的值，可知DB²=BF²+DF²，由勾股定理可知DF⊥BF，从而可求BG的值．
（Ⅱ）由已知可求得△AHF，△BFH都是正三角形，取FH的中点M，连接AM，BM，可得AM⊥FH，BM⊥FH，∠AMB即为二面角A-HF-B，分别求出AB，AM，BM的值，从而由余弦定理可求二面角A-HF-B的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB=2EF=2，AE=AD=1，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD，G为DF的中点，
∴BF=

2

，ED=

2

，DF=

EF2+ED2

=

3

，DB=

AD2+AB2

=

5

，FG=

1

2

，DF=

3

2

∴DB²=BF²+DF²
∴由勾股定理可知DF⊥BF
∴BG=

BF2+FG2

=

2+ 3 4

=

11

2

（Ⅱ）∵四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB=2EF=2，AE=AD=1，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD，G为DF的中点，
∴BF=

2

，BH=

2

，AH=

2

，AF=

2

，FH=

2

∴△AHF，△BFH都是正三角形
∴取FH的中点M，连接AM，BM，可得AM⊥FH，BM⊥FH，∠AMB即为二面角A-HF-B，
∵AB=2，AM=

AH2-HM2

=

2- 1 2

=

6

2

=BM
∴由余弦定理知，cos∠AMB=

AM2+BM2-AB2

2×AM×BM

=

6 4 + 6 4 -4

2× 6 2 × 6 2

=-

1

3

．
故二面角A-HF-B的余弦值是-

1

3

．

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中正确作出二面角是解题的关键，属于中档题．