Question

7．已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率$e=\frac{1}{2}$，则椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，由焦点的坐标分析可得焦点在y轴上，设其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，且c=1，由离心率公式分析可得a=2，结合椭圆的几何性质可得b²的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的一个焦点为F（0，1），则其焦点在y轴上，
可以设其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
其焦点坐标F（0，1），则c=1
又由其离心率$e=\frac{1}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
则a=2，
b²=a²-c²=3，
故其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的几何性质，需要依据椭圆的焦点位置设出椭圆的标准方程．