Question

已知⊙C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被⊙C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点.若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

方法一：假设存在这样的直线l，且设为y＝x＋m.

⊙C化为(x－1)²＋(y＋2)²＝9，圆心C(1，－2)，则AB中点N是直线x－y＋m＝0与y＋2＝－(x－1)的交点，即N(－，)，

因为以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.

又CN⊥AB，|CN|＝.

所以|AN|＝＝.

又|ON|＝，

由|AN|＝|ON|得m＝1或m＝－4.

所以存在符合条件的直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

方法二：设这样的直线存在，其方程为y＝x＋b，它与圆C的交点设为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则由

得2x²＋2(b＋1)x＋b²＋4b－4＝0，

所以，

所以y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)＝x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b².

由OA⊥OB得x₁x₂＋y₁y₂＝0，

所以2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²＝0，

即b²＋4b－4－b(b＋1)＋b²＝0，整理得b²＋3b－4＝0，

所以b＝1或b＝－4.

所以存在符合条件的直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.