Question

8．如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱A₁B₁的中点，则直线AE与直线B₁C所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），E（2，1，2），B₁（2，2，2）．
$\overrightarrow{AE}$=（0，1，2），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（2，0，2）．
∴cos$＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{C{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{C{B}_{1}}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{C{B}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线AE与直线B₁C所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了通过求向量的夹角公式求异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．