Question

20．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA_l=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D₁E
上的一点，D₁F=2FE．
（l）证明：平面DFC⊥平面D₁EC；
（2）求二面角A-DF-C的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能证明平面DFC⊥平面D₁EC．
（2）求出平面ADF的法向量和平面ADF的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-DF-C的大小．

解答 证明：（1）以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），
D₁（0，0，2）．∵E为AB的中点，∴E点坐标为E（1，1，0），
∵D₁F=2FE，
∴$\overrightarrow{D{\;}_1F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{D_1}E}=\frac{2}{3}（1，1，-2）=（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，-\frac{4}{3}）$，
$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{D{D_1}}+\overrightarrow{{D_1}F}=（0，0，2）+（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，-\frac{4}{3}）=（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$…（2分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面DFC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0\\ 2y=0\end{array}\right.$
取x=1得平面FDC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），…（3分）
设$\overrightarrow{p}$=（x，y，z）是平面ED₁C的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}z=0\\ 2y-2z=0\end{array}\right.$，
取y=1得平面D₁EC的一个法向量$\overrightarrow{p}$=（1，1，1），…（4分）
∵$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{p}$=（1，0，-1）•（1，1，1）=0，
∴平面DFC⊥平面D₁EC．…（5分）
（2）设$\overrightarrow{q}$=（x，y，z）是平面ADF的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{DA}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0\\ x=0\end{array}\right.$，
取y=1得平面ADF的一个法向量$\overrightarrow{q}$=（0，1，-1），…（7分）
设二面角A-DF-C的平面角为θ，由题中条件可知$θ∈（\frac{π}{2}，π）$，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{q}|}$=-$\frac{0+0+1}{{\sqrt{2}×\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}$，…（9分）
∴二面角A-DF-C的大小为120°．…（10分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．