Question

10．等差数列{a_n}的公差为d（d＜0），a_i∈{1，-2，3，-4，5}（i=1，2，3），则数列{b_n}中，b₁=1，点B_n（n，b_n）在函数g（x）=a•2^x（a是常数）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）等差数列{a_n}的公差为d（d＜0），a_i∈{1，-2，3，-4，5}（i=1，2，3），可得a₁=5，a₂=3，a₃=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B_n（n，b_n）在函数g（x）=a•2^x（a是常数）的图象上，可得b_n=a•2ⁿ．利用b₁=1，解得a，即可得出．
（II）c_n=a_n•b_n=（7-2n）•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）等差数列{a_n}的公差为d（d＜0），a_i∈{1，-2，3，-4，5}（i=1，2，3），
∴a₁=5，a₂=3，a₃=1．∴d=3-5=-2，∴a_n=5-2（n-1）=7-2n．
∵点B_n（n，b_n）在函数g（x）=a•2^x（a是常数）的图象上，∴b_n=a•2ⁿ．
∵b₁=1，∴1=a×2¹，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴b_n=2^n-1．
（II）c_n=a_n•b_n=（7-2n）•2^n-1．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=5×1+3×2+1×2²+…+（7-2n）•2^n-1．
∴2S_n=5×2+3×2²+…+（9-2n）•2^n-1+（7-2n）•2ⁿ，
∴-S_n=5-2（2+2²+…+2^n-1）-（7-2n）•2ⁿ=5-$2×\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（7-2n）•2ⁿ=9-（9-2n）•2ⁿ，
∴S_n=（9-2n）•2ⁿ-9．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．