Question

已知数列的各项均为正数，表示该数列前项的和，且对任意正整数，恒有，设

（1）      求数列的通项公式；

（2）      证明：无穷数列为递增数列；

（3）是否存在正整数，使得对任意正整数恒成立，若存在，求出的最小值。

Answer 1

解析：（1）时，，，，解得

时，，，，作差得

，整理得，∵，∴，∴，对时恒成立，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，故；

（2）∵－=－

==，

对任意正整数恒成立∴无穷数列为递增数列。

（3）存在，且的最小值为7。

∵∴若存在正整数，必有。

又===

===

当时∵＜

∴

即

∴2=2+=<=

∴;

因此存在正整数使得对任意正整数恒成立，且的最小值为7。