Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P且斜率为-

3

的直线与曲线M相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，可知动圆圆心的轨迹为抛物线，从而可求轨迹M的方程；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，可求A，B的坐标，从而可求AB长；
（3）假设△ABC能为正三角形，利用|AB|=|AC|=|BC|=

16

3

，导出矛盾，从而得解．

解答：解：（1）因为动圆M过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切
所以由抛物线定义知：圆心M的轨迹是以定点P（1，0）为焦点，定直线l：x=-1为准线的抛物线
所以 圆心M的轨迹方程为y²=4x------（4分）
（2）由题知，直线AB的方程为y=-

3

(x-1)------（6分）
所以

y=- 3 (x-1) y2=4x

解得：A(

1

3

，

2 3

3

)，B(3，-2

3

)------（8分）
∴|AB|=

16

3

----（10分）
（3）假设△ABC能为正三角形，则设点C的坐标为（-1，y）---（11分）
由题知|AB|=|AC|=|BC|=

16

3

（13分）
即：(

4

3

)2+(y-

2 3

3

)2=42+(y+2

3

)2=(

16

3

)2------（14分）
由于上述方程无实数解，因此直线l上不存在这样的点C．------（16分）

点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查存在性问题，关键是正确理解抛物线的定义．