Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为-

3

的直线与曲线M相交于A，B两点．
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件直接代入抛物线的标准方程即可．
（Ⅱ）（i）先求出点A，B的坐标，再把点C设出来，利用△ABC为正三角形对应的|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，看能否求出点C的坐标即可．
（ii）分三种情况分别求当△ABC为钝角三角形时，对应点C的纵坐标的取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，
直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y²=4x．
（Ⅱ）（i）由题意得，
直线AB的方程为y=-

3

(x-1)由

y=- 3 (x-1) y2=4x

消y得3x²-10x+3=0，解得x1=

1

3

，x2=3．
所以A点坐标为(

1

3

，

2 3

3

)，
B点坐标为（3，-2

3

），|AB|=x1+x2+2=

16

3

．
假设存在点C（-1，y），
使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即①②

(3+1)2+(y+2 3 )2=( 16 3 )2 ( 1 3 +1)2+(y- 2 3 )2=( 16 3 )2

由①-②得42+(y+2

3

)2=(

4

3

)2+(y-

2 3

3

)2，
解得y=-

14 3

9

．
但y=-

14 3

9

不符合①，
所以由①，②组成的方程组无解．
因此，直线l上不存在点C，
使得△ABC是正三角形．
（ii）设C（-1，y）使△ABC成钝角三角形，
由

y=- 3 (x-1) x=-1

得y=2

3

，
即当点C的坐标为（-1，2

3

）时，A，B，C三点共线，
故y≠2

3

．
又|AC|2=(-1-

1

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

28

9

-

4 3 y

3

+y2，
|BC|2=(3+1)2+(y+2

3

)2=28+4

3

y+y2，
|AB|2=(

16

3

)2=

256

9

．
当|BC|²＞|AC|²+|AB|²，
即28+4

3

y+y2＞

28

9

-

4 3

3

y+y2+

256

9

，
即y＞

2

9

3

时，∠CAB为钝角．
当|AC|²＞|BC|²+|AB|²，
即

28

9

-

4 3

3

y+y2＞28+4

3

y+y2+

256

9

，
即y＜-

10

3

3

时∠CBA为钝角．
又|AB|²＞|AC|²+|BC|²，
即

256

9

＞

28

9

-

4 3 y

3

+y2+28+4

3

y+y2，
即y2+

4

3

3

y+

4

3

＜0，(y+

2

3

)2＜0．
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角．
因此，当△ABC为钝角三角形时，
点C的纵坐标y的取值范围是y＜-

10 3

3

或y＞

2 3

9

(y≠2

3

)．

点评：本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．