Question

某城市为了改善交通状况，需进行路网改造．已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数．设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ，它与β的关系为．
（Ⅰ）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式：
（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比P的取值范围；
（Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比P最高时，问原有道路标段为多少个？

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意得，新建道路交叉口的总造价（单位：万元）为：
y=kβn=kβ（ax+b）；
（Ⅱ）．
由于 5%≤μ≤10%
有
则
∴5≤1+β≤10．
∴4≤β≤9．
∴．
又由已知P＞0，β＞0，从而．
所以P的取值范围是．
（Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的条件下，若路网最通畅，则β=9．
又造价比最高．
∴．
当且仅当 即a=4时取等号．
∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个．
分析：（Ⅰ）直接由题意得到新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；
（Ⅱ）由题意可知P=，再由路网的堵塞率介于5%与10%之间列式得到β的范围，从而得到P的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，要使路网最通畅，且造价比P最高时β=9，代入造价比P=后利用基本不等式求最值．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的读题能力，解答的关键在于读懂题意，正确列出表达式，训练了利用基本不等式求最值，是中高档题．