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    （2003•东城区二模）某城市为了改善交通状况，需进行路网改造．已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数．设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ，它与β的关系为μ=
    12(1+β)
    ．
    （Ⅰ）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式：
    （Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比P的取值范围；
    （Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比P最高时，问原有道路标段为多少个？
    分析：（Ⅰ）直接由题意得到新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；
    （Ⅱ）由题意可知P=
    kx
    y
    ，再由路网的堵塞率介于5%与10%之间列式得到β的范围，从而得到P的范围；
    （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，要使路网最通畅，且造价比P最高时β=9，代入造价比P=
    a
    β(a2+4b)
    后利用基本不等式求最值．
    解答：解：（Ⅰ）依题意得，新建道路交叉口的总造价（单位：万元）为：
    y=kβn=kβ（ax+b）；
    （Ⅱ）P=
    kx
    y
    =
    x
    β(ax+b)
    =
    1
    4
    a
    β(
    1
    4
    a2+b)
    =
    a
    β(a2+4b)
    ．
    由于 5%≤μ≤10%
    有0.05≤
    1
    2(1+β)
    ≤0.1
    则0.1≤
    1
    1+β
    ≤0.2
    ∴5≤1+β≤10．
    ∴4≤β≤9．
    ∴
    1
    9
    ≤
    1
    β
    ≤
    1
    4
    ．
    又由已知P＞0，β＞0，从而
    a
    a2+4b
    ＞0    ．
    所以P的取值范围是
    a
    9(a2+4b)
    ≤P≤
    a
    4(a2+4b)
    ．
    （Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的条件下，若路网最通畅，则β=9．
    又造价比最高．
    ∴P=
    a
    9(a2+16)
    =
    1
    9(a+
    16
    a
    )
    ≤
    1
    9×2×4
    =
    1
    72
    ．
    当且仅当  a=
    16
    a
    即a=4时取等号．
    ∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个．
    点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的读题能力，解答的关键在于读懂题意，正确列出表达式，训练了利用基本不等式求最值，是中高档题．
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    2
    11
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