Question

已知f（x）=，且f（1）=3，
（1）试求a的值，并证明f（x）在[，+∞）上单调递增．
（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x₁，x₂，试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意的b∈[2，]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将1代入函数关系式，即可求得；利用单调性的定义证明函数的单调性；
（2）利用韦达定理先求出|x₁-x₂|，变为不等式恒成立问题，再构造函数利用函数的导数求最值即可解决．
解答：解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴f（x）=，设≤x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）=2x₂+-（2x₁+）=2（x₂-x₁）+=（x₂-x₁）（2-），
∵x₂＞x₁≥，∴x₁x₂≥x₁²≥，∴0＜＜2，
∴2-＞0又x₂-x₁＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在，+∞）上单调递增．
（2）∵f（x）=x+b，∴x²-bx+1=0，∴|x₁-x₂|=又2≤b≤，∴0≤|x₁-x₂|≤3，故只须当t∈[-1，1]，使m²+mt+1≥3恒成立，记g（t）=tm+m²-2，只须：，∴，∴，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}．
点评：本题主要考查函数的单调性，考查恒成立问题的处理，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．