Question

某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件．由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低

3x

4

元，在售价不变的情况下，年销售量将减少

2

x

万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f（x）（单位：万元 ）．
（1）求f（x）的函数解析式；
（2）求f（x）的最大值，以及f（x）取得最大值时x的值．

Answer 1

分析：（1）求出产品升级后每件的成本、利润及年销售量，则利润的函数表达式可求；
（2）利用基本不等式求出f（x）的最大值．

解答：解：（1）依题意，产品升级后，每件的成本为1000-

3x

4

元，利润为200+

3x

4

元，
年销售量为1-

2

x

万件，
纯利润为f(x)=(200+

3x

4

)(1-

2

x

)-x，
=198.5-

400

x

-

x

4

（万元）；
（2）f(x)=198.5-

400

x

-

x

4

≤198.5-2×

400 x × x 4

，
=178.5．
等号当且仅当

400

x

=

x

4

，
即x=40（万元）．
即最大值时的x的值为40

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，训练了简单的建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．