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    已知数列{an}与数列{bn}（n∈N*，n≥1）满足：①a1＜0，b1＞0；②当k≥2时，ak与bk满足如下条件：
    当
    ak-1+bk-1
    2
    ≥0时，ak=ak-1，，bk=
    ak-1+bk-1
    2
    ；当
    ak-1+bk-1
    2
    ＜0时，ak=
    ak-1+bk-1
    2
    ，bk=bk-1．
    求：（1）用a1，b1表示bn-an；
    （2）当b1＞b2＞…＞bn（n≥2）时，用a1，b1表示bk．（k=1，2，…n）
    （3）当n（n≥2，n∈N*）是满足b1＞b2＞…＞bn（n≥2）的最大整数时，用a1，b1表示n满足的条件．
    分析：（1）通过分类讨论可知，所以无论哪种情况，都有bk-ak=
    bk-1-ak-1
    2
    ，从而可获得数列bn-an为等比数列进而可获得问题的解答；
    （2）结合条件经分类讨论可知
    ak-1+bk-1
    2
    ≥0，对于2≤k≤n，ak=ak-1，bk=
    ak-1+bk-1
    2
    从而an=an-1═a1．由（1）即可获得问题的结论．
    （3）由题意分析易知
    an+bn
    2
    =a1+(b1-a1)•(
    1
    2
    )    n    ，经分类讨论易知
    b1-a1
    -a1
    ＜2n    进而即可获得问题解答．
    解答：解：（1）当
    ak-1+bk-1
    2
    ≥0时，bk-ak=
    ak-1+bk-1
    2
    -ak-1=
    bk-1-ak-1
    2
    ；
    当
    ak-1+bk-1
    2
    ＜0时，bk-ak=bk-1-
    ak-1+bk-1
    2
    =
    bk-1-ak-1
    2

    所以无论哪种情况，都有bk-ak=
    bk-1-ak-1
    2

    因此，数列{bk-ak}是首相为b1-a1，公比为
    1
    2
    的等比数列，
    ∴bn-an=(b1-a1)•(
    1
    2
    )    n-1    ．
    （2）由b1＞b2＞＞bn（n≥2）时，bk≠bk-1（2≤k≤n）
    由②可知，
    ak-1+bk-1
    2
    ＜0    不成立，
    所以
    ak-1+bk-1
    2
    ≥0，对于2≤k≤n，ak=ak-1，bk=
    ak-1+bk-1
    2

    于是an=an-1═a1
    由（1）可得，bk=a1+（b1-a1）•(
    1
    2
    )    n-1    (k=2，3，，n)    ．
    （3）由b1＞b2＞＞bn（n≥2）知
    an=a1，bn=a1+(b1-a1)•(
    1
    2
    )n-1
    ∴
    an+bn
    2
    =
    1
    2
    {a1+[a1+(b1-a1)•(
    1
    2
    )    n-1    ]}=a1+(b1-a1)•(
    1
    2
    )n
    若
    an+bn
    2
    ≥0，则bn=
    an+bn
    2

    bn+1-bn=[a1+(b1-a1)•(
    1
    2
    )    n    ]-[a1+(b1-a1)•(
    1
    2
    )    n-1    ]
    =-(b1-a1)•(
    1
    2
    )n＜0，(∵b1-a1＞0)
    ∴bn＞bn+1这与n是满足b1＞b2＞b3＞bn（n≥2）的最大整数相矛盾
    ∴n是满足
    an+bn
    2
    ＜0的最小整数由
    an+bn
    2
    ＜0，得a1+(b1-a1)•(
    1
    2
    )n＜0
    得
    a1+b1
    2n
    ＜-a，得
    b1-a1
    -a1
    ＜2n
    ∴log2
    a1-b1
    a1
    ＜n
    因而n是满足log2
    a1-b1
    a1
    ＜n的最小整数．
    点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、数列求和的知识以及问题转化的知识．值得同学们体会和反思．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）
    （I）证明数列{an+1}是等比数列；
    （II）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）并比较2f'（1）与23n2-13n的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}中，前n项和为Sn，点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
    （Ⅰ）设bn=an+1-2an，且a1=1，求证数列{bn}是等比数列；
    （Ⅱ）令f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与6n2-3n的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•内江二模）已知数列{an} 的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）．
    （Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列；
    （Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较2f′（1）与23n2-13n的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•广州二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，都有an＞0且Sn=
    (an-1)(an+2)
    2
    ，令bn=
    lnan+1
    lnan
    ．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）使乘积b1•b2…bk为整数的k（k∈N*）叫“龙数”，求区间[1，2012]内的所有“龙数”之和；
    （3）判断bn与bn+1的大小关系，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}：a1a2，…，an（0≤a1≤a2…≤an），n≥3时具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
    ①数列0，1，3具有性质P；         ②数列0，2，4，6具有性质P；
    ③数列{an}具有性质P，则a1=0；    ④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2．
    其中真命题的序号为
    ②③④
    ②③④
    ．（所有正确命题的序号都写上）

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