Question

定义：若平面点集A中的任一个点（x₀，y₀），总存在正实数r，使得集合B={（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²=1}
②{（x，y）||x+y+2|≥1}
③{（x，y）||x|+|y|＜1}
④{（x，y）|0＜x²+（y-1）²＜1}
其中是开集的是（　　）

• A、③④
• B、②④
• C、①②
• D、②③

Answer 1

考点：集合的表示法

专题：新定义,集合

分析：根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案．①表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x₀，y₀），即可判断；②表示两条平行直线之外的区域，（含两直线），在直线上任取一点（x₀，y₀），即可判断；③表示中心为原点的正方形的内部，在该正方形中任取一点（x₀，y₀），即可判断；④表示以（0，1）为圆心，1为半径，除去圆心和圆周的圆面．在该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），即可判断．

解答：解：①{（x，y）|x²+y²=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x₀，y₀），
以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故①不是开集；
②{（x，y）||x+y+2|≥1}表示两条平行直线x+y+1=0，x+y+3=0之外的区域，（含两直线），
在直线上任取一点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足
{（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故②不是开集；
③{（x，y）||x|+|y|＜1}表示中心为原点，顶点为（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）
的正方形的内部，在该正方形中任取一点（x₀，y₀），则该点到正方形边界上的点的最短距离为d，
取r=d，则满足{（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A．
故③是开集；
④{（x，y）|0＜x²+（y-1）²＜1}表示以（0，1）为圆心，1为半径，除去圆心和圆周的圆面．
在该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，
满足{（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故④是开集．
故选：A．

点评：本题主要考查学生的阅读能力和对新定义的理解，如果一个集合是开集，则该集合表示的区域应该是不含边界的平面区域．本题的难点在于对新定义的理解．