Question

（本题满分14分）
在数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

Answer 1

解：（1）解法1：由
可得，------------------------------3分
∴数列是首项为，公差为1等差数列，
∴， -------------------------------------------------------------------------------6分
∴数列的通项公式为．-------------------------------------------------7分
解法2：由
可得-------------------------------------------------------------------------2分
令，则--------------------------------------------------------------3分
∴当时
----5分

∴
-------------------------------------------------------------------------------------6分
∴------------------------------------------------7分
解法3：∵，---------------------------------------------------------------1分
，--------------------------------------------------------2分
．----------------------------------------------------3分
由此可猜想出数列的通项公式为．---------------------------------------4分
以下用数学归纳法证明．
①当时，，等式成立．
②假设当（）时等式成立，即，
那么
．----------------------------------------------------------------------6分
这就是说，当时等式也成立．根据①和②可知，等式对任何都成立．--------------------------------------------------------------------------------------------------------7分
（2）令，--------------------①--------------8分
　　-----------------②------9分
①式减去②式得：
，-----------------10分
∴．--------------------------------12分
∴数列的前项和．------14分

解析