Question

（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形 为菱形，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）设圆的半径为，因为直线与圆相切，

所以 ．                 …………………3分

所以圆的方程为 ．              …………………5分

（Ⅱ）（方法一）因为直线：与圆相交于，两点，

所以，解得或．       …………………7分

假设存在点，使得四边形为菱形，             ……………8分

则与互相垂直且平分，                ………………9分

所以原点到直线：的距离为．   …………10分

所以，解得，               ………………11分

即，经验证满足条件．                 ………………12分

所以存在点，使得四边形为菱形．       …………………13分

（方法二）记与交于点．

因为直线斜率为，显然，所以直线方程为．…………7分

，  解得，  所以点坐标为，…………9分

因为点在圆上，所以，解得，………………11分

即，经验证满足条件．                   ………………12分

所以存在点，使得四边形为菱形．         ……………13分

 

【解析】略