Question

甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

1

2

，乙每次击中目标的概率为

1

3

．
（1）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．
（2）求乙至多击中目标2次的概率．
（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，从而可得ξ的分布列和期望；
（2）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，由对立事件的概率公式得到要求的概率；
（3）甲恰比乙多击中目标2次包含甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次和甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，且这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．

解答：解：（1）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，
当ξ=0时表示没有击中目标，P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

2

)3=

1

8

，
当ξ=1时表示击中目标1次，P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
当ξ=2时表示击中目标2次，P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，
当ξ=3时表示击中目标3次，P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

2

)3=

1

8

，
∴ξ的概率分布如下表：

ξ	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

∴Eξ=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

（2）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，由对立事件的概率公式得到概率为1-

C

3 3

×(

1

3

)3=

26

27

；
（3）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B₁，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B₂，则A=B₁+B₂，
∵B₁，B₂为互斥事件，∴P（A）=P（B₁+B₂）=

3

8

×

8

27

+

1

8

×

4

9

=

1

6

∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为

1

6

．

点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，属于中档题．