Question

设函数f （x）=ax ²+8x+3 （a＜0）．对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个 区间[0，l（a）]上，不等式|f （x）|≤5都成立．
问：a为何值时l（a）最大？求出这个最大的l（a）．证明你的结论．

Answer 1

分析：利用配方法通过函数的最小值的讨论，求出最大值的表达式，通过对数不等式，求出最大的正数l（a）．

解答：解：f（x）=a（x+

4

a

）²+3-

16

a

．
（1）当3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0时，
l（a）是方程ax²+8x+3=5的较小根，故l（a）=

-8+ 64+8a

2a

．
（2）当3-

16

a

≤5，即a≤-8时，
l（a）是方程ax²+8x+3=-5的较大根，故l（a）=

-8- 64-32a

2a

．
综合以上，l（a）=

-8- 64-32a 2a ，(a≤-8) -8+ 64+8a 2a (-8＜a＜0

当a≤-8时，l（a）=

-8+ 64-32a

2a

=

4

4-2a -2

≤

4

20 -2

=

1+ 5

2

；
当-8＜a＜0时，l（a）=

-8+ 64+8a

2a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

＜

1+ 5

2

．
所以a=-8时，l（a）取得最大值

1+ 5

2

．

点评：本题考利用类讨论思想，求解二次函数的最大值，考查函数与方程的思想，分类讨论思想的应用，难度较大．