Question

已知抛物线C：x²=2py，过点A（0，4）的直线l交抛物线C于M，N两点，且OM⊥ON．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点N作y轴的平行线与直线y=-4相交于点Q，若△MNQ是等腰三角形，求直线MN的方程．K．

Answer 1

分析：（1）根据OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把至西安的方程代入抛物线方程后把根与系数的关系代入x₁x₂+y₁y₂=0 求出p的值，即得抛物线方程．
（2）求出点Q的坐标，分三种情况讨论等腰三角形的底边，求出MN的斜率，用点斜式求得MN的方程．

解答：解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
由

x2=2py y=kx+4

得x2-2pkx-8p=0…（*）得x1x2=-8p，y1y2=

x12

2p

•

x22

2p

=16，
所以-8p+16=0，p=2，抛物线方程为x²=4y．
（2）方程（*）为x²-4kx-16=0，则得

x1x2=-16 x1+x2=4k

?

y1y2= x12 2p • x22 2p =16 y1+y2=4k2+8

，且Q（x₂，-4）
①若△MNQ是以MQ为底边的等腰三角形，KOM=

y1

x1

=

x1

2p

=

x1

4

，KOQ=

-4

x2

=

x1

4

，
所以M，O，Q三点共线，而MQ⊥ON，所以O为MQ的中点，则x₁+x₂=0，k=0，则直线MN的方程为y=4．
②若△MNQ是以NQ为底边的等腰三角形，作MG∥x轴交QN于G，G（x₂，y₁），则G为QN中点，2y₁+4=y₂，
又

y1y2=16 y1+y2=4k2+8

，得k=±

2

2

，则直线MN的方程为y=±

2

2

x+4．
③若△MNQ是以NM为底边的等腰三角形，则MN的中点P（2k，2k²+4），且x2=2k±

4k2+16

，
由QP⊥MN，得 

2k2+8

2k-(2k± 4k2+16 )

=-

1

k

，±

k2+4

=-

1

k

，
得

k＞0 k2+4 = 1 k

或

k＜0 k2+4 =- 1 k

?k=±

5 -2

，所以直线MN的方程为y=±

5 -2

x+4．
综上，当△QMN为等腰三角形时，直线MN的方程为：y=4，或y=±

2

2

x+4，或y=±

5 -2

x+4．

点评：本题考查抛物线的标准方程，用点斜式求出直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，求出直线的斜率，是解题的关键．