Question

已知抛物线C：x²=2my（m＞0）和直线l：y=x-m没有公共点（其中m为常数）．动点P是直线l上的任意一点，过P点引抛物线C的两条切线，切点分别为M、N，且直线MN恒过点Q（1，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O点为原点，连接PQ交抛物线C于A、B两点，求

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

的值．

Answer 1

分析：（1）对C的函数求导数，设出两个切点的坐标，求出导函数在切点处的导数值即切线的斜率，利用点斜式写出切线
PM，PN 的方程，将P的坐标代入得到MN的方程，据直线的点斜式判断出MN过的定点，据已知求出抛物线C的方程．
（2）设出直线PQ的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得解．

解答：解：（1）如图，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y=

x2

2m

，得y′=

x

m

，∴PM的斜率为

x1

m

，PM的方程为y=

x1

m

x-y₁
同理得PN：y=

x2

m

x-y₂，
设P（x₀，y₀）代入上式得 y₀=

x1

m

x₀-y₁，y₀=

x2

m

x₀-y₂，
即（x₁，y₁），（x₂，y₂）满足方程y₀=

x

m

x₀-y                          
故MN的方程为y=

x0

m

x-y₀=

x0

m

x-（x₀-m）
上式可化为y-m=

x0

m

（x-m），过交点（m，m）
∵MN过交点Q（1，1），
∴m=1
∴抛物线C的方程为x²=2y
（2）设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
则

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

=

2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0

(x4-x0)(x4-1)

…（Ⅰ）
∵P（x₀，y₀），Q（1，1）
∴PQ直线方程为y-1=

y0-1

x0-1

（x-1），
与x²=2y联立化简x²-

2y0-2

x0-1

x+

2y0-2

x0-1

-2=0
∴x₃x₄=

2y0-2x0

x0-1

…①，x₃+x₄=

2y0-2

x0-1

…②
把①②代入（Ⅰ）式中，
则分子2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=

4y0-2(y0-1)(1+x0) +x 2 0 -6x0

x0-1

…（Ⅱ）
又P点在直线y=kx-1上，
∴y₀=kx₀-1代入（Ⅱ）中得：2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0
∴

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

=

2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0

(x4-x0)(x4-1)

=0

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般是设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，然后利用韦达定理找突破口．