Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的离心率互为倒数，且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过双曲线的离心率，求出椭圆的离心率，求出椭圆的右顶点，求出a，c，b，求出椭圆方程．
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y，利用韦达定理，结合直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．求出k，设原点O到直线的距离为d，表示出三角形的面积，然后由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．

解答 解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2，0），即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，…（2分）
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y并整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0…（5分）
则${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}$
于是${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$…（6分）
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{1}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}={k}^{2}，⇒-\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}+{m}^{2}=0$…（8分）
由m≠0得：${k^2}=\frac{1}{4}⇒k=±\frac{1}{2}$
又由△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，得：0＜m²＜2
显然m²≠1（否则：x₁x₂=0，则x₁，x₂中至少有一个为0，
直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）          …（10分）
设原点O到直线的距离为d，则${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|{MN}|d=\frac{1}{2}\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{1}{2}|m|\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{-{{（{m^2}-1）}^2}+1}$
∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…（12分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．