Question

5．已知命题p：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a+7≥m+2恒成立；命题q：x²+ax=2=0有两个不同的实数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出当p真、q真时，a的取值范围，由p、q一真一假列式计算即可，

解答 解：命题p真：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a+7≥m+2恒成立⇒a²-5a+7≥（m+2）_max=3⇒a≤1或a≥4；
命题q真：x²+ax=2=0有两个不同的实数根⇒△=a²-8＞0⇒a＜-$2\sqrt{2}$或a$＞2\sqrt{2}$；
若p∨q为真，且p∧q为假，则p、q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤1或a≥4}\\{-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$⇒-2$\sqrt{2}$≤a≤1
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜4}\\{a＜-2\sqrt{2}或a＞2\sqrt{2}}\end{array}\right.$⇒2$\sqrt{2}$＜a＜4
∴实数a的取值范围为：⇒-2$\sqrt{2}$≤a≤1或2$\sqrt{2}$＜a＜4．

点评 本题考查了复合命题的真假的应用，属于基础题．