Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，△PAB是等边三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅲ）若平面PAD∩平面PBC=直线l，求证：直线l⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：BC⊥平面PAB，所以根据面面垂直的偶的定理可得：平面PBC⊥平面PAB．
（Ⅱ）根据题意并且结合线面平行的判定定理可得：BC∥平面PAD．
（Ⅲ） 由（II）可得：BC∥平面PAD，并且BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=直线l，所以BC∥l，进而得到线面垂直．

解答：证明：（Ⅰ）由题意可得：

平面PAB⊥平面ABCD 平面PAB∩平面ABCD=AB 矩形ABCD?AB⊥BC BC?平面ABCD

，
所以BC⊥平面PAB．
又因为BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB．
（Ⅱ）根据题意可得：

矩形ABCD?BC∥AD BC?平面PAD AD?平面PAD

，
所以根据线面平行的判定定理可得：BC∥平面PAD．
（Ⅲ） 由（II）可得：BC∥平面PAD，并且BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=直线l，
所以BC∥l，
又因为BC⊥平面PAB，
所以l⊥平面PAB．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面、面面垂直与平行的判定定理、性质定理．