Question

10．若半径为2的球O内切于一个正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，则该三棱柱的体积为48$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 推导出正三棱柱ABC-A₁B₁C的高是直径2R=4，正三角形△ABC的边长是AB=4$\sqrt{3}$，由此能求出该三棱柱的体积．

解答 解：∵半径为2的球O内切于一个正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C的高是直径2R=4，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面正三角形△ABC的内切圆的半径是2，
∴$\sqrt{3}×AB=2×3=6$，
∴正三角形△ABC的边长是AB=4$\sqrt{3}$，
∴该三棱柱的体积为：
V=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4\sqrt{3}×sin60°×4$=48$\sqrt{3}$．
故答案为：48$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱柱的性质的合理运用．