Question

10．已知函数f（x）的定义域是R，且满足下列三个条件
①对于任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；
②f（1）=-2；
③当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的奇偶性与单调性；
（2）求函数f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性的定义证明，以及根据函数的单调性定义证明即可；
（2）然后利用单调性和奇偶性的关系，求函数的最值即可．

解答 解：（1）令a=b=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
设x₁＞x₂≥0，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＞x₂≥0，所以f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[，+∞）上单调递减，
∵f（x）为奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递减；
（2）由（1）得到f（x）在[-3，3]上单调递减，
∵f（1）=-2，
∴f（2）=2f（1）=-4，
∴f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6，
∴函数的最小值为f（3）=-6，函数的最大值为f（-3）=-f（3）=6．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用条件证明函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键．