Question

5．已知直线y=x-m与抛物线y²=2x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，O为坐标原点．
（1）当m=2时，证明：OA⊥OB；
（2）是否存在实数m，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过直线方程y=x-2与抛物线方程y²=2x，消去x利用韦达定理可知y₁+y₂=2、y₁y₂=-4，问题转化为证明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0即可，进而计算可得结论；
（2）通过联立直线与抛物线方程，消去x利用韦达定理可知y₁+y₂=2、y₁y₂=-2m，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1计算可得m=1．

解答 （1）证明：依题意，直线方程为：y=x-2，
联立直线与抛物线方程，消去x，整理得：
y²-2y-4=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=（y₁+2）（y₁+2）+y₁y₂
=2y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
=-8+4+4
=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即OA⊥OB；
（2）结论：存在实数m=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1．
理由如下：
联立直线与抛物线方程，消去x，整理得：
y²-2y-2m=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-2m，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=（y₁+m）（y₁+m）+y₁y₂
=2y₁y₂+m（y₁+y₂）+m²
=-4m+2m+m²
=-1，
∴m²-2m+1=0，
解得：m=1，
于是存在实数m=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．