Question

已知椭圆

x2

4

+y²=1经过点（1，

3

2

），且一个焦点为（

3

，0）．若直线y=k（x-1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求

|AB|

|PQ|

的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得

|AB|

|PQ|

的取值范围．

解答： 解：直线y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+4k2

．
∴线段AB的中点坐标为（

4k2

1+4k2

，

-k

1+4k2

），
∴线段AB的垂直平分线方程为y-

-k

1+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

1+4k2

）．
取y=0，得x=

3k2

1+4k2

，
于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q（

3k2

1+4k2

，0），
又点P（1，0），
∴|PQ|=|1-

3k2

1+4k2

|=

1+k2

1+4k2

．
又|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4 (1+k2)(1+3k2)

1+4k2

．
于是，

|AB|

|PQ|

=4

3- 2 1+k2

．
∵k≠0，
∴1＜3-

2

1+k2

＜3．
∴

|AB|

|PQ|

的取值范围为（4，4

3

）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法．