Question

已知命题p：“对任意x∈R，都有x²+2x+a＞0恒成立”与命题q：“存在x∈R，x²+ax+4=0”都是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：P为真，则是一个二次不等式恒成立问题，结合图象只需判别式小于0即可；
Q为真，即关于x的一元二次方程有解，只需判别式大于或等于0即可；
因为都为真，所以取两者的交集即为所求．

解答： 解：对于命题P：因为对任意x∈R，都有x²+2x+a＞0恒成立，
所以，二次函数y=x²+2x+a的图象都在x轴上方，
因此只需△=4-4a＜0，解得a＞1①；
对于命题Q：因为存在x∈R，x²+ax+4=0，
所以方程x²+ax+4=0有实数根，
所以只需△=a²-4×4≥0，解得a≤-4或a≥4②；
若P，Q都是真命题，则①②式同时成立，联立①②
解得a≥4．

点评：此题考查了不等式恒成立、一元二次方程根的存在性问题的解决方法，一般要运用的数形结合的思想求解，因此需要充分理解三个“二次”之间的关系．