Question

甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%，20%的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．记a₁=10%，b₁=20%，经n-1（n≥2）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为a_n，b_n
（Ⅰ）试用a_n-1，b_n-1表示a_n，b_n；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-b_n}是等比数列，数列{a_n+b_n}是常数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意，经n-1（n≥2，n∈N^*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a_n，b_n，从而可用a_n-1，b_n-1表示a_n，b_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，化简可得结论

解答： （Ⅰ）解：由题意，经n-1（n≥2，n∈N^*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a_n，b_n，
∴a_n=

400an-1+100bn-1

500

=

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1，
b_n=

400bn-1+100an-1

500

=

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1；
（Ⅱ）证明：由（1）知，b_n-a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）-（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=

3

5

（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知数列{b_n-a_n}为首项是b₁-a₁=10%，公比为

3

5

的等比数列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）（

3

5

）^n-1=10%•（

3

5

）^n-1=

1

10

•（

3

5

）^n-1；
b_n+a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）+（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=b_n-1+a_n-1，
∴数列{a_n+b_n}是常数列．

点评：本题考查数列的性质和应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．