Question

为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？

Answer 1

当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

解法一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=(k＞0为比例系数)其中a、b满足2a+4b+2ab="60      " ①
要求y的最小值，只须求ab的最大值.
由①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)且ab=30–(a+2b)
应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥
∴ab≤18，当且仅当a=2b时等号成立
将a=2b代入①得a=6,b=3.
故当且仅当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二:由2a+4b+2ab=60,得,
记(0＜a＜30)则要求y的最小值只须求u的最大值.
由，令u′=0得a=6
且当0＜a＜6时，u′＞0，当6＜u＜30时u′＜0,
∴在a=6时取最大值，此时b=3.
从而当且仅当a=6，b=3时,y=取最小值.