Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n-n+1，（n=1，2，3，…）．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）bn=

an

2n

，Sn为数列{b_n}的前n项和，求S_n的表达式．

Answer 1

分析：（I）此证明题应从结论中找方法，要证明数列{a_n-n}是等比数列，将题设中的条件a_n+1=2a_n-n+1变形为a_n+1-（n+1）=2（a_n-n）即可；
（II）由（I）结论可求出b_n，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后将结果综合起来．

解答：解：∵a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n）
∴

an+1-(n+1)

an-n

=2，a₁-1=-2
∴数列{a_n-n}是以-2为首项，2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（1）得：a_n-n=（-2）×2^n-1=-2ⁿ，∴a_n=n-2ⁿ，b_n=

an

2n

=

n

2n

-1
∴Sn=b₁+b₂+…+b_n=(

1

2

-1) +(

2

22

-1) +…+(

n

2n

-1)=(

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

) -n
令Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…

n

2n

，则

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，

两式相减得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

，即S_n═2-

n+2

2n

-n    （12分）

点评：本题是一道综合性较强的题，要观察分析，判断，选择合适的方法，如（I）的求解要从证明的结论中找变形方向；（II）中的求解要边变形边观察，化整为零，分块求解，这对答题者分析判断的能力要求较高