Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理，可证得平面，进而证得，利用勾股定理，可证得，利用线面垂直的判定定理，可证得平面，证得结果；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量，求得线面角的正弦值，得到结果.

（Ⅰ）证明：∵在三棱柱中，，，又，

∴平面，又平面，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，

又，∴平面.

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，直线，，两两互相垂直，如图，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

设平面的法向量，

则，所以，，

取，则，

又，设直线与平面所成角为，

则 .

∴直线平面所成角的正弦值.

解法二：由（Ⅰ）知，直线，，两两互相垂直，以为原点，分别以、、所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

设平面的法向量，

则，所以，，

取，则，

又，设直线与平面所成角为，

则 .

∴直线平面所成角的正弦值.