Question

9．如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（　　） 

• A． 8
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，用坐标表示出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，代入向量的数量积公式计算．

解答 解：以BC为x轴，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图

∵AB=3，AC=6，∠BAC=90°，BC=3$\sqrt{5}$，
∵$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，sinC=cosB
∴sinB=2cosB，
∵sin²B+cos²B=1
∴sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴A（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），E（$\sqrt{5}$，0），F（2$\sqrt{5}$，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），
$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{7\sqrt{5}}{5}$+（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$）²=10．
故选B．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，建立合适坐标系是解题的关键，属于基础题．