Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求满足$（1-\frac{1}{T_2}）（1-\frac{1}{T_3}）…（1-\frac{1}{T_n}）≥\frac{1009}{2016}$的最大正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）运用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；
（2）由等差数列的求和公式，可得T_n，化简不等式可得$\frac{n+1}{2n}≥\frac{1009}{2016}$，解不等式即可得到n的最大值．

解答 解：（1）∵当n≥2时，S_n+1+4S_n-1=5S_n，
∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=4a_n．
∵a₁=2，a₂=8，
∴a₂=4a₁，
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公比为4的等比数列，
∴${a_n}=2•{4^{n-1}}={2^{2n-1}}$．
（2）由（1）得：${log_2}{a_n}={log_2}{2^{2n-1}}=2n-1$，
∴T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=1+3+…+（2n-1）
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
即有$（1-\frac{1}{T_1}）（1-\frac{1}{T_2}）…（1-\frac{1}{T_n}）$=$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）…（1-\frac{1}{n^2}）$
=$\frac{{{2^2}-1}}{2^2}•\frac{{{3^2}-1}}{3^2}•\frac{{{4^2}-1}}{4^2}•…•\frac{{{n^2}-1}}{n^2}$
=$\frac{1•3•2•4•3•5•…•（n-1）（n+1）}{{{2^2}•{3^2}•{4^2}•…•{n^2}}}=\frac{n+1}{2n}$，
令$\frac{n+1}{2n}≥\frac{1009}{2016}$，解得n≤1008．
故满足条件的最大正整数n的值为1008．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的通项和前n项和的关系，以及不等式的解法，注意化简整理，考查运算能力，属于中档题．