Question

8．已知递增数列{a_n}满足：a₁a₄=18，a₂+a₃=9．
（1）若{a_n}是等差数列，求{a_n}通项；
（2）若{a_n}是等比数列，求{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）若{a_n}是等差数列由a₁a₄=18，a₂+a₃=a₁+a₄=9，得a₁和a₄是方程x²-9x+18=0的两个根，解方程x²-9x+18=0，得a₁=3，a₄=6，由此能求出{a_n}通项．
（2）若{a_n}是等比数列，由a₁a₄=a₂a₃=18，a₂+a₃=9，得a₂和a₃是方程x²-9x+18=0的两个根，解方程x²-9x+18=0，得a₂=3，a₃=6，由此能求出{a_n}前n项和S_n．

解答 解：（1）若{a_n}是等差数列，设公差为d，
由数列{a_n}递增可得d＞0，
∵a₁a₄=18，a₂+a₃=a₁+a₄=9．
∴a₁和a₄是方程x²-9x+18=0的两个根，
解方程x²-9x+18=0，得x₁=3，x₂=6，
∵d＞0，∴a₁=3，a₄=6，$d=\frac{6-3}{4-1}$=1，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2．
∴{a_n}通项a_n=n+2．
（2）若{a_n}是等比数列，设公比为q，
∵a₁a₄=a₂a₃=18，a₂+a₃=9，
∴a₂和a₃是方程x²-9x+18=0的两个根，
解方程x²-9x+18=0，得x₁=3，x₂=6，
∵递增数列{a_n}中q＞0，
∴a₂=3，a₃=6，q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{6}{3}$=2，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{3}{2}$，
∴{a_n}前n项和S_n=$\frac{\frac{3}{2}（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{4}（{3}^{n}-1）$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．