Question

20．已知f（x）=2log₂（2x+t）
（1）t=1时，解不等式f（x）≤2log₂（x+1）
（2）t=4时，令g（x）=f（x）-2log₂（x+1），求g（x）在x∈[0，1]上最大值与最小值．
（3）当x∈[0，1]时，f（x）≥log₂（x+1）恒成立，求t取值范围？

Answer 1

分析 （1）运用对数函数的单调性解不等式；
（2）运用函数的单调性求值域；
（3）运用配方法求最值．

解答 解：（1）因为t=1，所以不等式f（x）≤2log₂（x+1）可化为，
log₂（2x+1）≤log₂（x+1），等价为：$\left\{\begin{array}{l}{2x+1＞0}\\{x+1＞0}\\{2x+1≤x+1}\end{array}\right.$，解得x∈（-$\frac{1}{2}$，0]，
即原不等式的解集为（-$\frac{1}{2}$，0]；
（2）当t=4时，f（x）=2log₂（2x+4），
g（x）=f（x）-log₂（x+1）=2log₂（2x+4）-2log₂（x+1）
=2log₂$\frac{2（x+2）}{x+1}$=2[1+log₂（1+$\frac{1}{x+1}$）]，
所以，函数g（x）为[0，1]上的减函数，
因此，g（x）_max=g（0）=4，g（x）_min=g（1）=2log₂3，
故g（x）的最小值为2log₂3，最大值为4；
（3）当x∈[0，1]时，f（x）≥log₂（x+1）恒成立，
即2x+t≥$\sqrt{x+1}$，分离变量t得，t≥$\sqrt{x+1}$-2x，
所以，t≥[$\sqrt{x+1}$-2x]_max，
而-2x+$\sqrt{x+1}$=-2（x+1）+$\sqrt{x+1}$+2=-2（$\sqrt{x+1}$-$\frac{1}{4}$）2+$\frac{17}{8}$，
其中x∈[0，1]，所以$\sqrt{x+1}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
所以，当$\sqrt{x+1}$=1时，[$\sqrt{x+1}$-2x]_max=1，
因此，实数t的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题主要考查了函数最值的求法，不等式恒成立问题的解法，同时考查对数函数的单调性的运用，以及运算求解能力，属于中档题．