Question

7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（log₂36）=（　　）

• A． 35
• B． $-\frac{7}{16}$
• C． $-\frac{7}{9}$
• D． $\frac{7}{16}$

Answer 1

分析 由已知可得f（2）=0，则对任意x∈R恒有f（x-2）=f（x），结合对数的运算性质，可得答案．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
又∵对任意x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），
∴f（2-2）=f（2）+f（2）=0，
即f（2）=0，
即对任意x∈R恒有f（x-2）=f（x），
故函数f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（log₂36）=f（log₂9）=f（log₂$\frac{9}{4}$）=f（log₂$\frac{9}{16}$）=-f（log₂$\frac{16}{9}$）=${2}^{{log}_{2}\frac{9}{4}}$-1=-（${2}^{{log}_{2}\frac{16}{9}}$-1）=-$\frac{7}{9}$，
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值，对数的运算性质，难度中档．