Question

四面体ABCD中，已知AB=3cm，S_△ABC=15cm²，S△ABC=12cm2，面ABC与ABD所成的二面角为30°，则四面体的体积为（　　）

• A．20cm³
• B．10

  3

  cm3
• C．20

  3

  cm3
• D．30cm³

Answer 1

分析：设AD=BD，CA=CB，取AB中点O，连接DO，CO，则∠DOC=30°，由AB=3cm，S_△ABD=15cm²，S_△ABC=12cm²，知DO=10，CO=8，由此能求出四面体ABCD的体积．

解答：解：设AD=BD，CA=CB，取AB中点O，连接DO，CO，
则∠DOC为面ABC与ABD所成的二面角的平面角，
∴∠DOC=30°，
∵AB=3cm，S_△ABD=15cm²，S_△ABC=12cm²，
∴DO=10，CO=8，
作DE⊥OC，交OC于E，
∵DO⊥AB，CO⊥AB，
∴AB⊥平面DOC，
∴DE⊥AB，∴DE⊥平面ABC，
∴DE=

1

2

DO=5，
∴四面体ABCD的体积V=

1

3

×S_△ABC×DE=

1

3

×12×5=20cm³．

点评：本题考查四面积的体积的求法，综合性强，难度大，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．