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函数的定义域关于原点对称,但不包括数0,对定义域中的任意实数,在定义域中存在使,且满足以下3个条件。
(1)定义域中的数,,则
(2),(是一个正的常数)
(3)当时,
证明:(1)是奇函数;
(2)是周期函数,并求出其周期;
(3)内为减函数。

证:(1)对定义域中的,由题设知在定义域中存在
使

为奇函数
(2)因,∴,于是

,则

,则



仍有
为周期函数,是它的一个周期。
(3)先证在为减函数,事实上,设
,则
(当时,)。

所以
时,
,于是


即在内,也是减函数,从而命题得证。
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知f(x)是R上的增函数,且f(x)<0,则函数g(x)=x2f(x)的单调情况一定是(    )                                       
A.在(-∞,0)上递增B.在(-∞,0)上递减C.在R上递增D.在R上递减

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列函数中,在内有零点且单调递增的是(          )
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数.
(1)当时,求的极值;     
(2)求的单调区间;
(3)若对任意的,恒有 成立,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

,函数
(1)求的定义域,并判断的单调性;
(2)当定义域为时,值域为,求的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称上的有界函数,其中称为函数的上界.
(1)判断函数是否是有界函数,请写出详细判断过程;
(2)试证明:设,若上分别以为上界,
求证:函数上以为上界;
(3)若函数上是以3为上界的有界函数,
求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(I)当时,求函数fx)在上的值域;
(II)若对任意,总有成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若为常数),且对任意,总有成立,求M的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若函数是定义在上的偶函数,在区间上是减函数,且,则使的取值范围是(   )
A.B.  C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数是定义在(0,)上的增函数,且
(1)求的值;(2)若,解不等式

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