Question

设a_i>0（i=1,2,…,n）.

考查①a₁·≥1,②（a₁+a₂）（+）≥4,③（a₁+a₂+a₃）（++）≥9后，归纳出对a₁,a₂,…,a_n也成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.

Answer 1

分析:由①②③归纳出类似的不等式并不难，关键是如何证明.要注意用上归纳假设及式子的变化.

解:由①②③我们可以得出不等式

（a₁+a₂+…+a_n）（++…+）≥n²

下面用数学归纳法证明这个不等式

（1）当n=1时，由题设知不等式成立.

（2）假设当n=k（k≥1）时不等式成立，即

（a₁+a₂+…+a_k）（++…+）≥k²

那么当n=k+1时

（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）（++…++…+）

=（a₁+a₂+…+a_k）（++…+）+a_k+1

（++…+）+（a₁+a₂+…+a_k）+a_k+1·≥k²+1+（+）+（+）+…+（+）≥k²+1+=k²+1+2k=（k+1）².

所以当n=k+1时，不等式成立.

由（1）（2）知，对任意的正整数n,不等式恒成立.