Question

11．已知$|{\vec a}|=1$，$|{\vec b}|=\frac{1}{2}|{\vec a}|$，$|{\vec a-\frac{1}{3}\vec b}|=\frac{{\sqrt{31}}}{6}$，则$\vec a$与$\vec b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 利用向量的模，求出数量积的值，判断求解向量的夹角．

解答 解：已知$|{\vec a}|=1$，$|{\vec b}|=\frac{1}{2}|{\vec a}|$，$|{\vec a-\frac{1}{3}\vec b}|=\frac{{\sqrt{31}}}{6}$，
可得${\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{b}}^{2}-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{31}{36}$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{4}$．
cos＜$\vec a$，$\vec b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}$=$\frac{\frac{1}{4}}{1×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$．
$\vec a$与$\vec b$的夹角为：$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面斜率的数量积的应用，斜率的夹角的求法，考查计算能力．