Question

已知圆心为F₁的圆的方程为（x+2）²+y²=32，F₂（2，0），C是圆F₁上的动点，F₂C的垂直平分线交F₁C于M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁+k₂为定值．

Answer 1

（1）∵F₂C的垂直平分线交F₁C于M，
∴|MF₁|=|MC|．
∵|F₁C|=4

2

，
∴|MF₁|+|MC|=4

2

，
∴|MF₁|+|MF₂|=4

2

，
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点，以4

2

为长轴长的椭圆．
由c=2，a=2

2

，得b²=a²-c²=8-4=4．
故曲线C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），
与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4k(k-2)

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-8k

1+2k2

．
从而k_l+k₂=

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=2k-（k-4）•

4k(k-2)

2k2-8k

=4．
当直线l的斜率不存在时，得A（-1，

14

2

），B（-1，-

14

2

），
得k_l+k₂═4．
综上，恒有k_l+k₂=4，为定值．