Question

已知函数f（x）=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，求实数m的取值范围；
（3）若直线l与f（x）的图象相切，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由题意对函数求导，然后利用极值的概念列出a，b的方程，在求解即可；
（2）由题意应该先求具体函数的单调区间，然后利用已知的条件及集合的思想，建立的m取值范围的不等式組求解即可；
（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P（x₀，y₀）的切线l的斜率k为：k=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]，换元进而可求直线l的斜率k的取值范围．

解答： 解：（1）求导，f′（x）=

a(-x2+b)

(x2+b)2

，
又f（x）在x=1处取得极值2，
所以

f′(1)= a(b-1) (b+1)2 =0 a b+1 =2

，
解得a=4，b=1
所以f（x）=

4x

x2+1

．
（2）因为f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
又f（x）的定义域是R，所以由f'（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上单调递增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递减．
①当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
则

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，解得-1＜m≤0；
②当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，
则

2m+1≤-1 2m+1＞m

或

m≥1 2m+1＞m

，解得m≥1．
综上，实数m的取值范围是-1＜m≤0或m≥1．
（3）f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

由条件知，过f（x）的图形上一点P（x₀，y₀）的切线l的斜率k为：k=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]
令t=

1

1+x02

，则t∈（0，1]
此时，k=8(t-

1

4

)2-

1

2

根据二次函数的图象性质知：当t=

1

4

时，k_min=-

1

2

，
当t=1时，k_max=4．
所以，直线l的斜率k的取值范围是[-

1

2

，4]．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，同时考查了导数的几何意义，还考查了数学中常用的分类讨论的思想．