Question

（理科）对于函数f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=x+

π

3

，有如下四个命题：
（1）f（x）-g（x）的最大值为

2

；
（2）f[h（x）]在区间[-

π

2

，0]上是增函数；
（3）将f（x）的图象向右平移

π

2

个单位可得g（x）的图象．
（4）g[f（x）]是最小正周期为2π的周期函数．
其中真命题的序号是

（1）、（2）、（3）、（4）

．

Answer 1

分析：根据两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域可得（1）正确．  根据f[h（x）]=sin（x+

π

3

），可得f[h（x）]在区间[-

π

2

，0]上是增函数，故（2）正确．
将f（x）的图象向右平移

π

2

个单位后得到函数y=sin（x-

π

2

）=g（x）的图象，故（3）正确． 由g[f（x）]=cos（sinx），最小正周期就是sinx的最小正周期2π，故（4）正确．

解答：解：由于f（x）-g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），故它的最大值等于

2

，故（1）正确．
由于f[h（x）]=sin[（h（x）]=sin（x+

π

3

），当 x∈[-

π

2

，0]时，（x+

π

3

）∈[-

π

6

，

π

3

]?[-

π

2

，

π

2

]，故f[h（x）]在区间[-

π

2

，0]上是增函数，故（2）正确．
将f（x）的图象向右平移

π

2

个单位后得到函数y=sin（x-

π

2

）=cosx=g（x）的图象，故（3）正确．
g[f（x）]=cos（f（x））=cos（sinx），它的最小正周期就是sinx的最小正周期为2π，故（4）正确．
故答案为：（1）、（2）、（3）、（4）．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域、周期性、单调性，三角函数的图象平移，以及诱导公式的应用，属于中档题，掌握三角函数的图象性质，
是解题的关键．