Question

（理科）设函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，值域为R且同时满足下列条件：
（1）对于任意非零实数x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
（2）对于任意正数x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
出符合上述条件的一个函数f（x）

=log₂|x|（答案不唯一）

．

Answer 1

分析：根据题意，联系常见的函数，分析条件（1），有数函数符合f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），分析（2）可得，f（x）为增函数，综合（1）、（2）可得f（x）的底数大于1的对数函数，据此即可写出答案．

解答：解：根据题意，
对于（1），要求函数的满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）的运算律，分析可得对数函数符合，
对于（2），若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，则f（x）在正实数集上为增函数，
对于对数函数，当底数大于1时，为增函数，
则符合条件（1）（2）的为底数大于1的对数函数，如y=log₂|x|，y=log₃|x|，y=lg|x|，等
故答案为log₂|x|，（答案不唯一，只要为底数大于1的对数函数即可）

点评：本题考查对数函数的性质，是开放性题目，关键是由f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）分析出该函数与对数函数有关．